Приветствую создателей!
Пока ничего не скачивал, но заглянул на http://smath.info/live/?lang=rus
Там немного поигрался с solve на многочленах чуть большей степени (8,16 и у второго члена 3 и 1, не меняя коэффициентов и свободного члена). Второго вещественного решения solve не находит. В других ситуациях, – при чуть большем расстоянии между корнями, – иногда находит… Но ведь это только одна переменная.
Если когда надумаете развить численное решение СНУ, то могу посодействовать добрым словом, начиная, например, с вещественных корней полиномов. samar заглядывал на экспоненту (там я алексей_алексей) и говорил:” Численные методы решения ОДУ и СНУ еще не реализованы. В ближайшем будущем за это возьмемся. Скорее всего это будет в виде отдельного плагина. ”. С численной реализацией ОДУ как базового инструмента можно очень далеко продвинуться в численном решении СНУ, много дальше, чем известные западные пакеты на сегодняшний день. Примеров тому уже есть на экспоненте.

Андрей, скачал, немного разобрался на примерах, как работает polyroots(..). Не скажу, что удобная форма задания через вектор коэффициентов. А как с полиномом большой степени, вот я дошёл до 30, и уже не очень удобно? И ещё, как больше значащих цифр задавать на выходе? Но работает мгновенно и, похоже, отлично. Молодцы. Не представляю даже, что за алгоритм.
Уже и не знаю теперь, что могу предложить со своей стороны. Конечно, есть глобальные планы, но до них нужно добраться. Может, попробуете для начала простой вариант метода Драгилева решения СНУ, который уже реализован на Маткаде? Он работает с начальными данными и примеры текстов у меня есть. Сам пакетами не владею, но уни и ещё несколько человек у нас (на экспоненте) его реализовали. У уни универсальный алгоритм, а есть текст, по которому понятен сам метод Драгилева. Одновременно с простым вариантом можно реализовать решение СНУ с числом переменных на единицу > числа уравнений. В случае одной степени свободы такие уравнения возникают, например, при расчёте кинематики пространственных рычажных механизмов. Можно делать анимацию на основе решения… На самом деле, это целое направление, которое ещё никто не начал осваивать.
Насчёт плагина я не писал, а привёл слова Вашего компаньона. Признаться, не знаю ещё, что это такое…
Сам я как-то осилил немного программирования на Паскале, чтобы продемонстрировать возможности, ну, и немного графики в точках, чтобы визуализировать. Но запала разбираться с документацией среды программирования нет по причине невостребованности, а теперь уже и возраста… Думаю, в случае необходимости, у Вашей компании получится реализовать всё и даже больше. Если будем общаться, то, наверное, через почту? Возможно, Вы сначала захотите посмотреть примеры и вообще…
Похоже, в Вашем пакете не строятся неявные графики, я не ошибся? Тогда, почему не строятся?

Каким методом предполагается решать полученную систему ОДУ?

В случае, если система ОДУ будет "жесткой", то разве ее решение будет более простой задачей нежели метод Ньютона-Рафсона?

А все же, если система "жесткая"?. На экспоненте, написано, что если корни ищутся "вслепую", то преимуществ перед методом Ньютона нет.

В далёком прошлом, когда, Анатолий Владимирович Драгилев находил решения системы, под которою создавался целый отдел, ему даже не объясняли причин, по которым не брали на вооружение его метод, а вместо этого освоили бюджет, не справившись с системой. И поведение той публики понятно, особенно в свете современной ситуации в обществе. Но вот чего хотите Вы, понять пока трудно. Если Вас интересует что-то конкретное, и оно, как Вы считаете, не освещено в уже известном Вам месте, то давайте ближе к Вашей проблеме. У Вас есть задача, Вам надо её решить? Вы хотите применить метод Драгилева? Сравнить его с чем-то Вам более привычным? В чём проблема? Решайте, сравнивайте, консультируйтесь, предварительно представившись. Так поступали многие…

Отвечу ещё раз. Если бы Вы уделили время знакомству с методом Драгилева, то такого рода вопросов у Вас бы просто не возникло. Чтобы аргументировать свои слова я привожу Вашу цитату:
На самом деле в этом месте сравнивается метод Ньютона и метод продолжения по параметру, который имеет ещё название метод гомотопии. Если у Вас имеется интерес к методу Драгилева, то уж в начальном описании можно было разобраться. Не разобравшись в начале, что можно понять дальше? Не буду говорить, какие ещё напрашиваются ответы на Ваши вопросы. Но не нельзя не заметить, что я, как мог, подталкивал Вас к более внимательному ознакомлению с идеей. Вы предпочли заняться чем-то другим…
(Что касается “жестких” участков траектории, и прочих плохих обусловленностей, то Вы поймёте разницу между Ньютовскими методами и непосредственным движением по кривой, если внимательно ознакомитесь с материалом. Единственное место, которое вызывает трудность для метода Драгилева – это точка самопересечения. Но здесь 0/0, и теория бессильна. Но проскочить можно, и именно за счёт вычислительных погрешностей…)

Отредактировано пользователем 16 апреля 2010 г. 0:47:06(UTC)  | Причина: Не указана

Проблема одна – точка самопересечения.

У нас не обычные ОДУ, у нас всегда есть исходные уравнения, которые позволяют корректировать траекторию, а не доверяться до конца точности решения ОДУ. При простом варианте реализации алгоритма проблема устойчивости не стоит, но и в этом случае есть исходные уравнения. На данном этапе подразумевается не поиск решения системы в лоб в виде области точки, а поиск сначала, например, линии или поверхности, отвечающей решению каких-либо n-1 илиn-2 уравнений, с дальнейшим движением уже по ним до встречи с точкой. При этом не обойтись без уточнений. Для чего ни Рунге, ни его модификации всё равно не подходят. Подходит, похоже, лишь аналогия метода деления отрезка пополам.
Всё гораздо масштабней. Думаю, не за горами численная процедура полного решения системы алгебраических уравнений (посмотрите, на каком этапе спотыкается Математика). Жалко, не могу себя заставить освоить тот же Маткад, но, может быть, сагитирую кого-нибудь когда-нибудь написать...

Маткад исключительно из-за читабельности, потом, не обойтись без символьных вычислений. А другие, чем в пакете методы решения ОДУ, случись в них особая потребность, можно написать прямо там. Деление пополам по причине простоты и надёжности, но, признаюсь, до конца не представляю его пространственный вариант. Не исключаю применения стандартных функций, поскольку само приближение получается довольно приличным, да и уточнение требуется больше для подстраховки. Но это всё варианты...
Как ни странно, для системы много проще рассматривать все корни, чем отдельно вещественные, а для одного уравнения наоборот. Это из-за особенностей, как самих алгебраических уравнений, так и Метода. Тут как бы вместе слабые и сильные места универсального подхода. Идея изложена в конце той же темы … F(X)=0, найти нетрудно в неизбежной, но небольшой, кучке “мусора”…

Если я правильно понял, то смысл метода Драгилева состоит в том, чтобы решение системы нелинейных уравнений свести к решению задачи Коши?