Одномерный случай.

Уравнение: x^7-21*x^5+84*x^3-64*x=0


Документ: Решение СНУ 3.sm

Система диффуров для двумерного случая получается путём векторного перемножения нормалей поверхностей.
Эта система описывает линию пересечения поверхностей в 3D. Если выбрать на этой линии точку и построить вектора нормалей к обеим поверхностям, а потом их векторно перемножить, то результирующий вектор будет направлен вдоль касательной к линии пересечения. Решение же диффура методом Рунге-Кутта - есть восстановление линии пересечения поверхностей, т.е. построение интегральной кривой. Ясно, что эта кривая проходит через все решения системы (односвязные). Она как ниточка с иголкой протыкает пространство на размерность меньше в точках решения.



Нули в векторе - это специальный приём. Чтобы не пересчитывать вектор D(t,x) для каждой начальной точки, эти точки вводятся в сам диффур в качестве неиспользуемых переменных (0 - это константа при интегрировании). Поэтому в самом решателе диффура можно ссылаться на эти константы.

Отредактировано пользователем 24 октября 2010 г. 11:40:31(UTC)  | Причина: Не указана

См. похожую задачу
communities.ptc.com/videos/1472

Двумерный случай (экстремумы функции Химмельблау). Посмотрим на влияние выбора начальной точки при восстановлении интегральной кривой.

Задачка: найти все точки экстремума функции Химмельблау f(x;y)←(x^2+y-11)^2+(x+y^2-7)^2

Вариант 1. Точка (-5,56; 4,06) - эта точка выбиралась графически, как лежащая на втором уравнении. Было выбрано именно второе уравнение, т.к. оно односвязно и проходит все точки экстремума - нули производных.

Документ: Решение СНУ 6_1.sm

Отредактировано пользователем 28 октября 2010 г. 1:11:49(UTC)  | Причина: Не указана

Известно, что пакет Математика 7 находит все корни алгебраических систем. Причём довольно шустро… При этом не доводилось слышать, что проблемы полного решения СНАУ уже не существует. Интересно узнать, а с помощью Вашего метода можно найти ВСЕ решения алгебраической системы уравнений?

А Вы обратитесь там же с конкретным вопросом, и Вам, уверен, подробно ответят...

Я полностью автоматизировал работу алгоритма в SMath. Единственное пока неудобство - это необходимость внешнего плагина для его работы: MapleWrapper плагин.
Дело в том, что мне нужно особым образом вычислять Якобиан, а встроенная функция не достаточно ещё реализована. Поэтому приходится пользоваться услугами maple через вышеуказанный плагин.

Много примеров по работе с методом я выложил на параллельном английском форуме: Draghilev's method.

Ответы на последние вопросы:
1. Сейчас реализация метода самостоятельно делает все необходимые преобразования, поэтому можно не думать о ещё одной переменной, а просто задать систему.
2. Начальное условие не обязательно должно быть решением системы. Если обратиться к аналогии, то можно сказать так: для случая двух уравнений и двух переменных первоначальная точка должна быть решением одного из входящих в систему уравнений.

Что касается работы с функцией Draghilev(), то я остановлюсь попозже более подробно на тонких моментах настройки решателя, но это вовсе не исключает понимания хотя бы общих принципов теории. Я старался иллюстрировать примеры, поэтому советую начать именно с них и пройтись по каждому.

Доброго Фридель.

При такой постановке задачи я не знаю как применить метод. В данном случае не хватает каких-то дополнительных условий. Решения могут быть закручены как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки, а это неопределённость в постановке. Метод Драгилева ищет численные решения в строго определённых (аналитичных) системах. Ещё мне не совсем ясно на счёт того что задано и что нужно найти. Если начальные координаты отрезка заданы, то найти координаты второго конца можно и без метода Драгилева при помощи функций для решения систем нелинейных уравнений, которые есть в соотв-щем дополнении.