Можно попытаться сделать расчёт суммы и произведения ряда возможным с верхним пределом, равным бесконечности.

При этом в процессе итераций будет проверяться:
1). Зацикливание. Например, с общим членом Sin(x). При повторении максимума, скажем, более 3-5 раз итерации прекращаются и выдаётся сообщение о несходимости ряда.
2). Расходимость. При приближении суммы к предельно возможному числу для компьютера итерации также прекращаются и выдаётся сообщение о несходимости (это, правда, нерационально. Можно попробовать проверять основное свойство сходимости (каждый член меньше предыдущего), но тут возникает вопрос о количестве проверок. Как вариант: "каждый член меньше предыдущего И меньше максимума".
3). Влияние на конечный результат. Итерации прекращаются, когда очередной член ряда не влияет на показываемый результат (например, значение общего члена порядка 3-4 знаков сверх тех, что показаны на экране).

Идея, конечно, очень сырая, но, может, знающие матан чего предложат...